(C卷,200分)- 5G网络建设（Java & JS & Python & C）

题目描述

现需要在某城市进行5G网络建设，已经选取N个地点设置5G基站，编号固定为1到N，接下来需要各个基站之间使用光纤进行连接以确保基站能互联互通，不同基站之间假设光纤的成本各不相同，且有些节点之间已经存在光纤相连。

请你设计算法，计算出能联通这些基站的最小成本是多少。

注意：基站的联通具有传递性，比如基站A与基站B架设了光纤，基站B与基站C也架设了光纤，则基站A与基站C视为可以互相联通。

输入描述

第一行输入表示基站的个数N，其中：

• 0 < N ≤ 20

第二行输入表示具备光纤直连条件的基站对的数目M，其中：

• 0 < M < N * (N – 1) / 2

从第三行开始连续输入M行数据，格式为

X Y Z P

其中：

X，Y 表示基站的编号

• 0 < X ≤ N
• 0 < Y ≤ N
• X ≠ Y

Z 表示在 X、Y之间架设光纤的成本

• 0 < Z < 100

P 表示是否已存在光纤连接，0 表示未连接，1表示已连接

输出描述

如果给定条件，可以建设成功互联互通的5G网络，则输出最小的建设成本

如果给定条件，无法建设成功互联互通的5G网络，则输出 -1

用例

题目解析

（下图中，虚线代表节点之间可以铺设光纤，但是还没有铺设，实线表示已经铺好了）

用例1图示

用例2图示

用例3图示

本题是经典的最小生成树问题

生成树概念

而在了解最小生成树概念前，我们需要先了解生成树的概念：

在无向连通图中，生成树是指包含了全部顶点的极小连通子图。

生成树包含原图全部的n个顶点和n-1条边。（注意，边的数量一定是n-1）

比如下面无向连通图例子：

根据生成树概念，我们可以基于上面无向连通图，产生多个生成树，下面举几个生成树例子：

如上图我们用n-1条橙色边连接了n个顶点。这样就从无向连通图中产生了生成树。

为什么生成树只能由n-1条边呢？

因为少一条边，则生成树就无法包含所有顶点。多一条边，则生成树就会形成环。

而生成树最重要的两个特性就是：

1、包含所有顶点

2、无环

最小生成树概念

了解了生成树概念后，我们就可以进一步学习最小生成树了。

我们回头看看无向连通图，可以发现每条边都有权重值，比如v1-v2权重值是6，v3-v6权重值是4。

最小生成树指的是，生成树中n-1条边的权重值之和最小。

那么如何才能准确的找出一个无向连通图的最小生成树呢？

有两种算法：Prim算法和Kruskal算法。

Prim算法是基于顶点找最小生成树。Kruskal是基于边找最小生成树。

Prim算法

首先，我们介绍Prim算法：

我们可以选择无向连通图中的任意一个顶点作为起始点，比如我们选v1顶点为起始点

从v1顶点出发，有三条边，我们选择权重最小的1，即将v1-v3相连

此时我们需要将v1-v3看成一个整体，然后继续找这个整体出发的所有边里面的最小的， 

 可以发现为最小权重为4，因此，将v3-v6相连

接着将v1-v3-v6看出一个整体，找这个整体出发的所有边里面的最小的，可以找到最小权重2，因此将v6-v4相连

但是接下来，我们会发现，从v1-v3-v6-v4整体出发的所有边里面同时有三个最小权重5，那么该如何选择呢？

其实不难看出，如果选择v4-v3，或者v4-v1相连，则对应的生成树就形成了环结构，因此就不符合生成树特性了，因此我们只能选择v3-v2。

（注意：如果有多个相同的最小权重边可选，并且都不会产生环结构，则可以选择其中任意一条边，最终得到结果都是最小生成树） 

 其实，不仅仅在上面遇到相同权重边时，需要判断是否形成环，在前选择每一条边时都需要判断是否形成环，一旦选择的边能够形成环，那么我们就应该舍弃它，选择第二小的权重边，并继续判断。

按照上面逻辑，我们可以继续找到v1-v2-v3-v4-v6整体出发所有边中的最小权重边3，即将v2-v5相连，并且连接后不会形成环

此时选择的边数已经达到了n-1条，因此可以结束逻辑，而现在得到的就是最小生成树。我们可以将这个最小生成数的所有边的权重值之和计算出来为15。 

上面这种基于顶点的找最小生成树的方式就是Prim算法。

关于Prim算法具体实现细节请看代码实现，已添加详细注释。

Kruskal算法

接下来介绍Kruskal算法：

Kruskal算法要求我们将所有的边按照权重值升序排序，因此可得：

首先，我们将权重最小的边v1-v3加入，得到下图

接着将下个最小权重2的边v4-v6加入 

接着继续加最小权重边

此时边数已经达到n-1，而刚好这个过程中也没有环的形成，因此得到的就是最小生成树。

但是这里有巧合因素在里面，因为最后一步中，最小权重5的边有多条，如果并不是v2-v3排在前面呢，比如是v1-v4呢？

可以发现，形成了环，因此我们应该舍弃这条边，继续找剩下的最小权重边。最后总能找到v2-v3。

那么判断环的存在就是实现上面Prim算法和Kruskal算法的关键点！

其实，生成树就是一个连通分量，初始时，生成树这个连通分量只有一个顶点（Prim），或者两个顶点（Kruskal），后面会不断合入新的顶点进来，来扩大连通分量范围。

而连通分量可以使用并查集表示，

并查集本质就是一个长度为n的数组（n为无向图的顶点数），数组索引值代表图中某个顶点child，数组索引指向的元素值，代表child顶点的祖先顶点father。

初始时，每个child的father都是自己。即初始时，默认有n个连通分量。

比如 arr = [1,1,1,5,5,5] 数组就可以模拟出一个无向图

• 0顶点（索引值）的祖先是1顶点（元素值）  
• 1顶点（索引值）的祖先是1顶点（元素值） 
• 2顶点（索引值）的祖先是1顶点（元素值） 

我们可以用father指代一个连通分量。比如上面arr = [1,1,1,5,5,5]就有两个连通分量，分别是father为1的连通分量和father为5的连通分量。

最小生成树中的顶点必然都处于同一个连通分量中，因此每加入一个新的顶点child_new，我们我们就可以看它的father是否已经是连通分量对应的father，如果是，则说明顶点child_new其实已经存在于最小生成树中了，因此就产生了环，比如下面例子：

​

上面右图绿色部分（对应连通图中橙色实线），则arr变为

​

上面右图黄色部分（对应连通图中黑色实线），即v4顶点的father改成v1，但是实际上v4的father已经是v1，那么此时如果再强行加入的话，那么就形成了环。

Prim算法和Kruskal算法的适用场景

Prim算法是基于节点操作的，因此Prim算法适用于节点少，边多的情况

Kruskal算法是基于边操作的，因此Kruskal算法适用于节点多，边少的情况。

本题解析

本题属于最小生成树的变种题，区别于板子题，本题中主要是存在一些已经关联好的节点。

比如下面连通图中，2-3是已经连通好的。

其实处理起来也很简单，对于已经关联了的节点，我们可以认为他们之间的边权为0。

即上图中，2-3虽然边权为5，但是由于已经关联好了，因此可以认为实际边权为0。

这样的话，本题就变成最小生成树的板子题了。

JS算法源码

Prim算法

const rl = require("readline").createInterface({ input: process.stdin });
var iter = rl[Symbol.asyncIterator]();
const readline = async () => (await iter.next()).value;

void (async function () {
  const n = parseInt(await readline()); // 基站数量（节点数）
  const m = parseInt(await readline()); // 基站对数量（边数）

  // 邻接矩阵, 初始化默认各点之间互不联通，即i-j边权无限大
  const graph = new Array(n + 1)
    .fill(0)
    .map(() => new Array(n + 1).fill(Infinity));

  for (let i = 0; i < m; i++) {
    const [x, y, z, p] = (await readline()).split(" ").map(Number);

    if (p == 0) {
      // x-y边权为z
      graph[x][y] = z;
      graph[y][x] = z;
    } else {
      // 对应已经联通的两点，可以理解为边权为0
      graph[x][y] = 0;
      graph[y][x] = 0;
    }
  }

  function prim() {
    // 记录最小生成树的边权和
    let minWeight = 0;

    // inTree[i] 表示 节点i 是否在最小生成树中
    const inTree = new Array(n + 1).fill(false);

    // 初始时任选一个节点作为最小生成树的初始节点，这里选择节点1
    inTree[1] = true;
    // 记录最小生成树中点数量
    let inTree_count = 1;

    // dis[i]表示 节点i 到最小生成树集合 的最短距离
    // 初始时，最小生成树集合中只有节点1，因此其他节点到最小生成树的距离，其实就是到节点1的距离
    const dis = new Array(n + 1).fill(0).map((_, i) => graph[i][1]);

    // 如果最小生成树中点数量达到n个，则结束循环
    while (inTree_count < n) {
      // 现在我们需要从未纳入最小生成树的点中，找到一个距离最小生成树最近的
      let minDis = Infinity; // minDis 记录这个最近距离
      let nodeIdx = 0; // idx 记录距离最小生成树minDis个距离的节点

      for (let i = 1; i <= n; i++) {
        // 从未纳入最小生成树的点中，找到一个距离最小生成树最近的
        if (!inTree[i] && dis[i] < minDis) {
          minDis = dis[i];
          nodeIdx = i;
        }
      }

      // 如果nodeIdx == 0,则说明未纳入最小生成树的这些点到最小生成树的距离都是Integer.MAX_VALUE，即不与最小生成树存在关联
      if (nodeIdx == 0) {
        // 则说明，当前所有点无法形成最小生成树
        return -1;
      }

      inTree[nodeIdx] = true; // 最小生成树需要纳入最短距离点nodeIdx
      inTree_count++; // 最小生成树中点数量+1
      minWeight += dis[nodeIdx]; // 更新最小生成树的权重和

      // dis[i] 初始时记录的是节点i 到 节点1 的距离（初始的生成树中只有节点1）
      // 现在生成树纳入了新节点nodeIdx，则我们需要更新一下dis[i]，即有可能某些点到最小生成树中的nodeIdx点距离更近
      for (let i = 1; i <= n; i++) {
        if (!inTree[i] && graph[nodeIdx][i] < dis[i]) {
          // 注意，这是一个累进过程，初始时dis[i]记录的是节点i到节点1的距离，
          // 之后，最小生成树纳入新点后，如果节点i到新点的距离更近，则dis[i]就更新为这个更短距离
          // 总之，dis[i] 记录的是 节点 i 到最小生成树的最短距离
          dis[i] = graph[nodeIdx][i];
        }
      }
    }

    return minWeight;
  }

  console.log(prim());
})();

Kruskal算法

const rl = require("readline").createInterface({ input: process.stdin });
var iter = rl[Symbol.asyncIterator]();
const readline = async () => (await iter.next()).value;

void (async function () {
  const n = parseInt(await readline()); // 基站数量（节点数）
  const m = parseInt(await readline()); // 基站对数量（边数）

  const edges = [];
  for (let i = 0; i < m; i++) {
    // 边起点, 边终点，边权重，起点和终点是否已关联
    const [x, y, z, p] = (await readline()).split(" ").map(Number);

    if (p == 0) {
      // 起点和终点未关联
      edges.push([x, y, z]);
    } else {
      // 起点和终点已关联，则关联代价实际为0
      edges.push([x, y, 0]);
    }
  }

  function kruskal() {
    let minWeight = 0;

    // 按照边权升序
    edges.sort((a, b) => a[2] - b[2]);

    const ufs = new UnionFindSet(n + 1);

    // 最先遍历出来是边权最小的边
    for (const [x, y, z] of edges) {
      // 如果edge.from节点 和 edge.to节点 是同一个连通分量（即都在最小生成树中），则此时会产生环
      // 因此只有当edge.from节点 和 edge.to节点不在同一个连通分量时，才能合并（纳入最小生成树）
      if (ufs.find(x) != ufs.find(y)) {
        minWeight += z;
        ufs.union(x, y);

        // 需要注意的是，上面初始化并查集的节点数为n+1个，因此并查集底层fa数组的长度就是n+1，即索引范围是[0, n]，左闭右闭，
        // 其中0索引是无用的，1~n索引对应最小生成树中各个节点，如果者n个节点可以变为最小生成树，那么1~n节点会被合并为一个连通分量
        // 而0索引虽然无用，但是也会自己形成一个连通分量，因此最终如果能形成最小生成树，则并查集中会有两个连通分量
        if (ufs.count == 2) {
          return minWeight;
        }
      }
    }

    return -1;
  }

  console.log(kruskal());
})();

// 并查集实现
class UnionFindSet {
  constructor(n) {
    this.fa = new Array(n).fill(true).map((_, idx) => idx);
    this.count = n; // 初始时各站点互不相连，互相独立，因此需要给n个站点发送广播
  }

  // 查x站点对应的顶级祖先站点
  find(x) {
    while (x !== this.fa[x]) {
      x = this.fa[x];
    }
    return x;
  }

  // 合并两个站点，其实就是合并两个站点对应的顶级祖先节点
  union(x, y) {
    let x_fa = this.find(x);
    let y_fa = this.find(y);

    if (x_fa !== y_fa) {
      // 如果两个站点祖先相同，则在一条链上，不需要合并
      this.fa[y_fa] = x_fa; // 合并站点，即让某条链的祖先指向另一条链的祖先
      this.count--; // 一旦两个站点合并，则发送广播次数减1
    }
  }
}

Java算法源码

Prim算法

import java.util.Scanner;

public class Main {
  public static void main(String[] args) {
    Scanner sc = new Scanner(System.in);

    int n = sc.nextInt(); // 基站数量（节点数）
    int m = sc.nextInt(); // 基站对数量（边数）

    // 邻接矩阵
    int[][] graph = new int[n + 1][n + 1];
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
      for (int j = 1; j <= n; j++) {
        // 初始化默认各点之间互不联通，即i-j边权无限大
        graph[i][j] = Integer.MAX_VALUE;
      }
    }

    for (int i = 0; i < m; i++) {
      int x = sc.nextInt();
      int y = sc.nextInt();
      int z = sc.nextInt();
      int p = sc.nextInt();

      if (p == 0) {
        // x-y边权为z
        graph[x][y] = z;
        graph[y][x] = z;
      } else {
        // 对应已经联通的两点，可以理解为边权为0
        graph[x][y] = 0;
        graph[y][x] = 0;
      }
    }

    System.out.println(prim(graph, n));
  }

  public static int prim(int[][] graph, int n) {
    // 记录最小生成树的边权和
    int minWeight = 0;

    // inTree[i] 表示 节点i 是否在最小生成树中
    boolean[] inTree = new boolean[n + 1];

    // 初始时任选一个节点作为最小生成树的初始节点，这里选择节点1
    inTree[1] = true;
    // 记录最小生成树中点数量
    int inTree_count = 1;

    // dis[i]表示 节点i 到最小生成树集合 的最短距离
    int[] dis = new int[n + 1];
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
      // 初始时，最小生成树集合中只有节点1，因此其他节点到最小生成树的距离，其实就是到节点1的距离
      dis[i] = graph[1][i];
    }

    // 如果最小生成树中点数量达到n个，则结束循环
    while (inTree_count < n) {
      // 现在我们需要从未纳入最小生成树的点中，找到一个距离最小生成树最近的

      // minDis 记录这个最近距离
      int minDis = Integer.MAX_VALUE;
      // idx 记录距离最小生成树minDis个距离的节点
      int nodeIdx = 0;

      for (int i = 1; i <= n; i++) {
        // 从未纳入最小生成树的点中，找到一个距离最小生成树最近的
        if (!inTree[i] && dis[i] < minDis) {
          minDis = dis[i];
          nodeIdx = i;
        }
      }

      // 如果nodeIdx == 0,则说明未纳入最小生成树的这些点到最小生成树的距离都是Integer.MAX_VALUE，即不与最小生成树存在关联
      if (nodeIdx == 0) {
        // 则说明，当前所有点无法形成最小生成树
        return -1;
      }

      inTree[nodeIdx] = true; // 最小生成树需要纳入最短距离点nodeIdx
      inTree_count++; // 最小生成树中点数量+1
      minWeight += dis[nodeIdx]; // 更新最小生成树的权重和

      // dis[i] 初始时记录的是节点i 到 节点1 的距离（初始的生成树中只有节点1）
      // 现在生成树纳入了新节点nodeIdx，则我们需要更新一下dis[i]，即有可能某些点到最小生成树中的nodeIdx点距离更近
      for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (!inTree[i] && graph[nodeIdx][i] < dis[i]) {
          // 注意，这是一个累进过程，初始时dis[i]记录的是节点i到节点1的距离，
          // 之后，最小生成树纳入新点后，如果节点i到新点的距离更近，则dis[i]就更新为这个更短距离
          // 总之，dis[i] 记录的是 节点 i 到最小生成树的最短距离
          dis[i] = graph[nodeIdx][i];
        }
      }
    }

    return minWeight;
  }
}

Kruskal算法

import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;

public class Main {
  // 边
  static class Edge {
    int from; // 边起点
    int to; // 边终点
    int weight; // 边权重

    public Edge(int from, int to, int weight) {
      this.from = from;
      this.to = to;
      this.weight = weight;
    }
  }

  public static void main(String[] args) {
    Scanner sc = new Scanner(System.in);

    int n = sc.nextInt(); // 基站数量（节点数）
    int m = sc.nextInt(); // 基站对数量（边数）

    Edge[] edges = new Edge[m];

    for (int i = 0; i < m; i++) {
      int x = sc.nextInt();
      int y = sc.nextInt();
      int z = sc.nextInt();
      int p = sc.nextInt();

      // 如果p==1，则可以认为x-y边权为0
      edges[i] = new Edge(x, y, p == 0 ? z : 0);
    }

    System.out.println(kruskal(edges, n));
  }

  public static int kruskal(Edge[] edges, int n) {
    int minWeight = 0;

    // 按照边权升序
    Arrays.sort(edges, (a, b) -> a.weight - b.weight);

    UnionFindSet ufs = new UnionFindSet(n + 1);

    // 最先遍历出来是边权最小的边
    for (Edge edge : edges) {
      // 如果edge.from节点 和 edge.to节点 是同一个连通分量（即都在最小生成树中），则此时会产生环
      // 因此只有当edge.from节点 和 edge.to节点不在同一个连通分量时，才能合并（纳入最小生成树）
      if (ufs.find(edge.from) != ufs.find(edge.to)) {
        minWeight += edge.weight;
        ufs.union(edge.from, edge.to);

        // 需要注意的是，上面初始化并查集的节点数为n+1个，因此并查集底层fa数组的长度就是n+1，即索引范围是[0, n]，左闭右闭，
        // 其中0索引是无用的，1~n索引对应最小生成树中各个节点，如果者n个节点可以变为最小生成树，那么1~n节点会被合并为一个连通分量
        // 而0索引虽然无用，但是也会自己形成一个连通分量，因此最终如果能形成最小生成树，则并查集中会有两个连通分量
        if (ufs.count == 2) {
          return minWeight;
        }
      }
    }

    return -1;
  }
}

// 并查集
class UnionFindSet {
  int[] fa;
  int count;

  public UnionFindSet(int n) {
    this.fa = new int[n];
    this.count = n;
    for (int i = 0; i < n; i++) this.fa[i] = i;
  }

  public int find(int x) {
    if (x != this.fa[x]) {
      return (this.fa[x] = this.find(this.fa[x]));
    }
    return x;
  }

  public void union(int x, int y) {
    int x_fa = this.find(x);
    int y_fa = this.find(y);

    if (x_fa != y_fa) {
      this.fa[y_fa] = x_fa;
      this.count--;
    }
  }
}

Python算法源码

Prim算法

import sys

# 输入获取
n = int(input())  # 基站数量（节点数）
m = int(input())  # 基站对数量（边数）

# 邻接矩阵, 初始化默认各点之间互不联通，即i-j边权无限大
graph = [[sys.maxsize for _ in range(n + 1)] for _ in range(n + 1)]

for _ in range(m):
    x, y, z, p = map(int, input().split())

    if p == 0:
        # x-y边权为z
        graph[x][y] = z
        graph[y][x] = z
    else:
        # 对应已经联通的两点，可以理解为边权为0
        graph[x][y] = 0
        graph[y][x] = 0


# Prim算法
def prim():
    # 记录最小生成树的边权和
    minWeight = 0

    # inTree[i] 表示 节点i 是否在最小生成树中
    inTree = [False] * (n + 1)

    # 初始时任选一个节点作为最小生成树的初始节点，这里选择节点1
    inTree[1] = True
    # 记录最小生成树中点数量
    inTree_count = 1

    # dis[i]表示 节点i 到最小生成树集合 的最短距离
    # 初始时，最小生成树集合中只有节点1，因此其他节点到最小生成树的距离，其实就是到节点1的距离
    dis = [0] * (n + 1)
    for i in range(1, n + 1):
        dis[i] = graph[1][i]

    # 如果最小生成树中点数量达到n个，则结束循环
    while inTree_count < n:
        # 现在我们需要从未纳入最小生成树的点中，找到一个距离最小生成树最近的
        minDis = sys.maxsize  # minDis 记录这个最近距离
        nodeIdx = 0  # idx 记录距离最小生成树minDis个距离的节点

        for i in range(1, n+1):
            # 从未纳入最小生成树的点中，找到一个距离最小生成树最近的
            if not inTree[i] and dis[i] < minDis:
                minDis = dis[i]
                nodeIdx = i

        # 如果nodeIdx == 0,则说明未纳入最小生成树的这些点到最小生成树的距离都是Integer.MAX_VALUE，即不与最小生成树存在关联
        if nodeIdx == 0:
            # 则说明，当前所有点无法形成最小生成树
            return -1

        inTree[nodeIdx] = True  # 最小生成树需要纳入最短距离点nodeIdx
        inTree_count += 1  # 最小生成树中点数量+1
        minWeight += dis[nodeIdx]  # 更新最小生成树的权重和

        # dis[i] 初始时记录的是节点i 到 节点1 的距离（初始的生成树中只有节点1）
        # 现在生成树纳入了新节点nodeIdx，则我们需要更新一下dis[i]，即有可能某些点到最小生成树中的nodeIdx点距离更近
        for i in range(1, n+1):
            if not inTree[i] and graph[nodeIdx][i] < dis[i]:
                # 注意，这是一个累进过程，初始时dis[i]记录的是节点i到节点1的距离，
                # 之后，最小生成树纳入新点后，如果节点i到新点的距离更近，则dis[i]就更新为这个更短距离
                # 总之，dis[i] 记录的是 节点 i 到最小生成树的最短距离
                dis[i] = graph[nodeIdx][i]

    return minWeight


# 算法调用
print(prim())

Kruskal算法

# 并查集实现
class UnionFindSet:
    def __init__(self, n):
        self.fa = [i for i in range(n)]
        self.count = n

    def find(self, x):
        if x != self.fa[x]:
            self.fa[x] = self.find(self.fa[x])
            return self.fa[x]
        return x

    def union(self, x, y):
        x_fa = self.find(x)
        y_fa = self.find(y)

        if x_fa != y_fa:
            self.fa[y_fa] = x_fa
            self.count -= 1


# 输入获取
n = int(input())  # 基站数量（节点数）
m = int(input())  # 基站对数量（边数）

edges = []
for _ in range(m):
    # 边起点，边终点，边权重（起点和终点关联代价），起点是否已和终点关联
    x, y, z, p = map(int, input().split())

    if p == 0:
        # 起点和终点未关联
        edges.append([x, y, z])
    else:
        # 起点和终点已关联，则实际关联代价为0
        edges.append([x, y, 0])


# kruskal算法
def kruskal():
    minWeight = 0

    # 按照边权升序
    edges.sort(key=lambda x: x[2])

    ufs = UnionFindSet(n+1)

    # 最先遍历出来是边权最小的边
    for x, y, z in edges:
        # 如果x节点 和 y节点 是同一个连通分量（即都在最小生成树中），则此时会产生环
        # 因此只有当x节点 和 y节点不在同一个连通分量时，才能合并（纳入最小生成树）
        if ufs.find(x) != ufs.find(y):
            minWeight += z
            ufs.union(x, y)

            # 需要注意的是，上面初始化并查集的节点数为n+1个，因此并查集底层fa数组的长度就是n+1，即索引范围是[0, n]，左闭右闭，
            # 其中0索引是无用的，1~n索引对应最小生成树中各个节点，如果者n个节点可以变为最小生成树，那么1~n节点会被合并为一个连通分量
            # 而0索引虽然无用，但是也会自己形成一个连通分量，因此最终如果能形成最小生成树，则并查集中会有两个连通分量
            if ufs.count == 2:
                return minWeight

    return -1


# 算法入口
print(kruskal())

C算法源码

Prim算法

#include <stdio.h>
#include <limits.h>

int n, m; // 基站数量（节点数）,基站对数量（边数）
int graph[21][21]; // 邻接矩阵

int prim() {
    // 记录最小生成树的边权和
    int minWeight = 0;

    // inTree[i] 表示 节点i 是否在最小生成树中
    int inTree[21] = {0};

    // 初始时任选一个节点作为最小生成树的初始节点，这里选择节点1
    inTree[1] = 1;
    // 记录最小生成树中点数量
    int inTree_count = 1;

    // dis[i]表示 节点i 到最小生成树集合 的最短距离
    int dis[21];
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        // 初始时，最小生成树集合中只有节点1，因此其他节点到最小生成树的距离，其实就是到节点1的距离
        dis[i] = graph[1][i];
    }

    // 如果最小生成树中点数量达到n个，则结束循环
    while (inTree_count < n) {
        // 现在我们需要从未纳入最小生成树的点中，找到一个距离最小生成树最近的

        int minDis = INT_MAX; // minDis 记录这个最近距离
        int nodeIdx = 0; // idx 记录距离最小生成树minDis个距离的节点

        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            // 从未纳入最小生成树的点中，找到一个距离最小生成树最近的
            if (!inTree[i] && dis[i] < minDis) {
                minDis = dis[i];
                nodeIdx = i;
            }
        }

        // 如果nodeIdx == 0,则说明未纳入最小生成树的这些点到最小生成树的距离都是Integer.MAX_VALUE，即不与最小生成树存在关联
        if (nodeIdx == 0) {
            // 则说明，当前所有点无法形成最小生成树
            return -1;
        }

        inTree[nodeIdx] = 1; // 最小生成树需要纳入最短距离点nodeIdx
        inTree_count++; // 最小生成树中点数量+1
        minWeight += dis[nodeIdx]; // 更新最小生成树的权重和

        // dis[i] 初始时记录的是节点i 到 节点1 的距离（初始的生成树中只有节点1）
        // 现在生成树纳入了新节点nodeIdx，则我们需要更新一下dis[i]，即有可能某些点到最小生成树中的nodeIdx点距离更近
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            if (!inTree[i] && graph[nodeIdx][i] < dis[i]) {
                // 注意，这是一个累进过程，初始时dis[i]记录的是节点i到节点1的距离，
                // 之后，最小生成树纳入新点后，如果节点i到新点的距离更近，则dis[i]就更新为这个更短距离
                // 总之，dis[i] 记录的是 节点 i 到最小生成树的最短距离
                dis[i] = graph[nodeIdx][i];
            }
        }
    }

    return minWeight;
}

int main() {
    scanf("%d %d", &n, &m);

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            // 初始化默认各点之间互不联通，即i-j边权无限大
            graph[i][j] = INT_MAX;
        }
    }

    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int x, y, z, p;
        scanf("%d %d %d %d", &x, &y, &z, &p);

        if (p == 0) {
            // x-y边权为z
            graph[x][y] = z;
            graph[y][x] = z;
        } else {
            // 对应已经联通的两点，可以理解为边权为0
            graph[x][y] = 0;
            graph[y][x] = 0;
        }
    }

    printf("%dn", prim());

    return 0;
}

Kruskal算法

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

/** 并查集定义 **/
typedef struct {
    int *fa;
    int count;
} UFS;

UFS *new_UFS(int n) {
    UFS *ufs = (UFS *) malloc(sizeof(UFS));

    ufs->fa = (int *) malloc(sizeof(int) * n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        ufs->fa[i] = i;
    }

    ufs->count = n;

    return ufs;
}

int find_UFS(UFS *ufs, int x) {
    if (x != ufs->fa[x]) {
        ufs->fa[x] = find_UFS(ufs, ufs->fa[x]);
        return ufs->fa[x];
    }
    return x;
}

void union_UFS(UFS *ufs, int x, int y) {
    int x_fa = find_UFS(ufs, x);
    int y_fa = find_UFS(ufs, y);

    if (x_fa != y_fa) {
        ufs->fa[y_fa] = x_fa;
        ufs->count--;
    }
}

/*** 边定义 ***/
typedef struct Edge {
    int from; // 边起点
    int to; // 边终点
    int weight; // 边权重
} Edge;

int n, m;
Edge *edges;

int cmp(const void* a, const void* b) {
    return ((Edge*) a)->weight - ((Edge*) b)->weight;
}

int kruskal() {
    int minWeight = 0;

    // 按照边权升序
    qsort(edges, m, sizeof(Edge), cmp);

    UFS* ufs = new_UFS(n + 1);

    // 最先遍历出来是边权最小的边
    for(int i=0; i<m; i++) {
        int x = edges[i].from;
        int y = edges[i].to;
        int z = edges[i].weight;

        // 如果edge.from节点 和 edge.to节点 是同一个连通分量（即都在最小生成树中），则此时会产生环
        // 因此只有当edge.from节点 和 edge.to节点不在同一个连通分量时，才能合并（纳入最小生成树）
        if(find_UFS(ufs, x) != find_UFS(ufs, y)) {
            minWeight += z;
            union_UFS(ufs, x, y);

            // 需要注意的是，上面初始化并查集的节点数为n+1个，因此并查集底层fa数组的长度就是n+1，即索引范围是[0, n]，左闭右闭，
            // 其中0索引是无用的，1~n索引对应最小生成树中各个节点，如果者n个节点可以变为最小生成树，那么1~n节点会被合并为一个连通分量
            // 而0索引虽然无用，但是也会自己形成一个连通分量，因此最终如果能形成最小生成树，则并查集中会有两个连通分量
            if(ufs->count == 2) {
                return minWeight;
            }
        }
    }

    return -1;
}

int main() {
    scanf("%d %d", &n, &m);

    edges = (Edge*) malloc(sizeof(Edge) * m);

    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int x, y, z, p;
        scanf("%d %d %d %d", &x, &y, &z, &p);

        edges[i].from = x;
        edges[i].to = y;

        if(p == 0) {
            edges[i].weight = z;
        } else {
            // 如果p==1，则可以认为x-y边权为0
            edges[i].weight = 0;
        }
    }

    printf("%dn", kruskal());

    return 0;
}